Radice di 3 per radice di 2

Algebra Esempi

Semplificare radice quadrata di 3x( radice quadrata di 3- radice quadrata di x)

Step 1

Applicare la proprietà distributiva.

Step 2

Toccare per più passaggi...

Combinare usando la regola del prodotto per i radicali.

Step 3

Riscrivere utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

Step 4

Semplificare ogni termine.

Toccare per più passaggi...

Estrarre i termini fuori dal radicale.

Toccare per più passaggi...

Combinare usando la regola del prodotto per i radicali.

Elevare alla potenza di .

Elevare alla potenza di .

Usare la regola della potenza per combinare gli esponenti.

Estrarre i termini fuori dal radicale.

Le radici quadrate ti preoccupano? Impara a svolgere moltiplicazioni e divisioni tra radici. Esercitati a risolvere le espressioni con le radici: rispetta l'ordine delle operazioni e ricordati che somma e differenza si possono fare solo tra radici simili!

Appunti

Le radici quadrate sono radicali che hanno £$2$£ come indice di radice. Il numero sotto radice è il risultato di un numero elevato al quadrato. L'estrazione di radice è quindi l'operazione inversa dell'elevamento a potenza. Fare la radice quadrata significa perciò trovare la base della potenza che ha £$2$£ come esponente. Questa operazione tuttavia non sempre è possibile: £$\sqrt{2}$£ o £$\sqrt{8}$£, ad esempio, non sono equivalenti a numeri interi come £$\sqrt{4}=2$£. In questi casi lascerai indicato il radicale. Altrimenti, in alcune circostanze, puoi ricorrere alla scomposizione in fattori e portare qualche fattore fuori dalla radice: per esempio £$\sqrt{8}=\sqrt{2^2 \cdot 2}= 2\sqrt{2}$£.

Ricordati anche che puoi svolgere tutte e quattro le operazioni con le radici quadrate: la moltiplicazione, la divisione, l'addizione e la sottrazione.

Prodotti e quozienti tra radici quadrate sono operazioni che puoi svolgere con qualsiasi radicando: il risultato sarà un'altra radice quadrata che ha come radicando il prodotto o il quoziente tra i radicandi. Pure le frazioni sono divisioni, motivo per cui possiamo applicare la stessa regola ai radicali con radicando frazionario. Moltiplicazione e divisione tra radici ti aiuteranno anche a calcolare la radice quadrata di un numero molto grande, scomponendolo in quadrati perfetti. Guarda i video e fai gli esercizi per capire meglio come funzionano prodotto e quoziente tra radici!

Somma e differenza, invece, si possono svolgere solo tra radici quadrate simili, che abbiano cioè lo stesso radicando. Se due radici quadrate non sono simili, non ti resta che provare a portare alcuni fattori fuori dal segno di radice per ottenere radicali simili.

Impara a svolgere tutte le operazioni per risolvere le espressioni con le radici. L'ordine delle operazioni non cambia: radici e potenze si svolgono contemporaneamente per prime, poi moltiplicazioni e divisioni, e per ultime addizioni e sottrazioni. E se l'espressione è sotto il segno di radice il procedimento non cambia!

Negli esercizi dei tre livelli troverai problemi ed espressioni con le radici quadrate: leggi le spiegazioni che illustrano tutti i passaggi per arrivare al risultato corretto e mettiti all'opera! 

Contenuti di questa lezione su: Operazioni con le radici

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Prerequisiti per ripassare come risolvere le operazioni con le radici

Prodotto di radici quadrate

Abbiamo visto come calcolare le radici quadrate di quadrati perfetti. Quando il radicando non è un quadrato perfetto, puoi scomporlo e portare fuori dalla radice una parte del numero. Per esempio £$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$£. Ci sono quindi dei casi in cui il radicale rimane indicato e non si può risolvere trasformandolo in un numero intero.
Con tutti i radicali è possibile risolvere le operazioni. Come si fa a risolvere una moltiplicazione tra radici quadrate?
Il prodotto di radici quadrate è uguale alla radice del prodotto dei due radicandi.

Esempio: £$ \sqrt{6} \cdot \sqrt {24}=\sqrt{6 \cdot 24}=\sqrt{144}=12$£

Quando dobbiamo calcolare il prodotto di due radici che non sono quadrati perfetti, oppure la radice di numeri molto grandi, è utile scomporre il numero in fattori e poi usare il prodotto tra radici quadrate.

Esempio:

• Come calcolare la radice £$576$£? Proviamo a scomporlo in fattori per semplificare il calcolo: £$ 576 = 6^2 \cdot 4^2 = 36 \cdot 16$£ Quindi: £$\sqrt{ 576}= \sqrt{36 \cdot 16}= \sqrt{36} \cdot \sqrt{16} = 6 \cdot 4 = 24$£
• Come calcolare £$\sqrt{8} \cdot \sqrt{8} $£ ? Portiamo tutto sotto un'unica radice: £$ \sqrt 8 \cdot \sqrt 8 =\sqrt{8 \cdot 8}=\sqrt{64}=8$£

Quoziente di radici quadrate

Oltre alla moltiplicazione tra radicali, puoi risolvere anche la divisione tra radicali.
Studiamo le radici quadrate e quindi chiediamoci quale sia il quoziente tra due radici quadrate. La regola è uguale a quella del prodotto tra radici quadrate!
Il quoziente di radici quadrate è uguale alla radice del quoziente dei due radicandi.

Esempio: Devi calcolare £$\sqrt{90} : \sqrt{10}$£, ma £$\sqrt{90}$£ e £$\sqrt{10}$£ non sono due radici perfette. Risolviamo la divisione tra radici quadrate applicando la regola: £$\sqrt{90}: \sqrt{10}= \sqrt{90:10}=\sqrt{9}=3$£

La regola della divisione è utile quando dobbiamo calcolare il quoziente di due radici che non sono quadrati perfetti, oppure quando abbiamo la radice di un quoziente tra due quadrati più facili da calcolare.
Ricorda che anche le frazioni rappresentano una divisione tra numeratore e denominatore, quindi, per calcolare il risultato, semplifica e applica le regole della divisione tra radici!
Se abbiamo un radicando frazionario la regola non cambia: la radice quadrata di una frazione è uguale alla radice quadrata del numeratore fratto la radice quadrata del denominatore .

Esempio: quanto vale £$\sqrt{\frac{16}{25}}$£? Attenzione! In questo radicale che ha un radicando frazionario, il numeratore e il denominatore sono quadrati perfetti! Allora £$ \sqrt{\frac{16}{25}} =\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}$£

Addizione e sottrazione di radici quadrate

Due radicali sono simili quando hanno lo stesso indice di radice e lo stesso radicando, cioè lo stesso numero sotto il simbolo di radice.

La somma tra radicali diventa una somma tra numeri interi se hai dei quadrati perfetti: £$\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$£
Ma come si fa quando devi sommare due radici quadrate non perfette? Per esempio come si fa £$\sqrt{3}+ \sqrt{2}$£ oppure £$\sqrt{5}+\sqrt{5}$£?
La somma tra radicali si può fare solo se i radicali sono simili. Quindi puoi sommare £$\sqrt{5}$£ e £$\sqrt{5}$£ ma non puoi fare la somma di £$\sqrt{3}$£ e £$\sqrt{2}$£, perché hanno lo stesso indice, ma non hanno lo stesso radicando. Lo stesso vale per le sottrazioni tra radicali. Puoi fare la differenza solo radicali simili.
Per capire come funziona la somma e la sottrazione tra radicali facciamo un esempio: £$\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}=4 \sqrt{3}$£

Quindi la somma di radici quadrate simili è una nuova radice quadrata che ha per coefficiente numerico la somma dei coefficienti delle radici moltiplicato al radicale di partenza. Alcuni radicali che non sono simili possono essere ricondotti a radicali simili scomponendo il radicando e applicando le regole del prodotto!

Esempi:

• £$2\sqrt{6}+\sqrt{6}+6\sqrt{6}=(2+1+6)\sqrt{6} $£ £$=9\sqrt{6}$£
• £$\sqrt{8}+\sqrt{2}=\sqrt{2^2 \cdot 2}+ \sqrt{2} $£ £$ =2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$£

La somma di due radicali che non sono simili è un numero irrazionale che troviamo svolgendo entrambe le radici. Per esempio £$ \sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 2 = 2\sqrt 2 + \sqrt 3 $£. Possiamo fare la somma, ma il risultato non dipende da un unico radicale!

Per le addizioni e le sottrazioni non valgono le regole del prodotto e del quoziente di radici. La somma o la differenza di radici è diversa dalla radice della somma o differenza.

Esempio: £$\sqrt{16} - \sqrt{9}=4-3=1 $£ è diverso da £$ \sqrt{16-9} = \sqrt{7}=2,64...$£ che, infatti, è sbagliato!

Espressioni con le radici quadrate

Cosa si può fare con le radici quadrate? Beh, sono molto utili per risolvere i problemi di geometria, oppure per applicare il teorema di Pitagora. In ognuno di questi problemi potrebbe capitarti di trovare tante radici quadrate unite dalle quattro operazioni. Cosa sono queste catene di operazioni con le radici? Le espressioni con le radici quadrate!

Come si risolvono le espressioni in cui compaiono le radici quadrate? A quali passaggi dobbiamo fare attenzione? Qual è l'ordine delle operazioni? Le radici quadrate, come accadeva per le frazioni, non sono altro che numeri. A volte sono equivalenti a numeri interi, come £$\sqrt{4}=2$£, altre volte le teniamo indicate, come £$\sqrt{3}$£.
Le regole per risolvere le espressioni con le radici quadrate sono le stesse che già conosci! I passi da seguire, ricordandosi la priorità nelle operazioni, sono:

1. prima di tutto ci occupiamo delle potenze e delle radici che possiamo risolvere o semplificare con le proprietà studiate;
2. calcoliamo le moltiplicazioni e le divisioni;
3. infine è la volta di addizioni e sottrazioni.

Se nell’espressione compaiono anche delle parentesi, seguiamo lo stesso ordine, ma risolviamo prima le operazioni nelle parentesi tonde, poi quelle nelle quadre ed infine quelle nelle parentesi graffe.

E se l’espressione è tutta sotto il segno di radice quadrata? Risolviamo l’espressione sotto radice seguendo sempre lo stesso ordine delle operazioni e, solo alla fine, calcoliamo la radice quadrata e abbiamo la soluzione del nostro problema.

Prova subito gli esercizi dei livelli per allenarti con i calcoli delle espressioni! Nelle spiegazioni trovi tutti i passaggi!

Quanto vale radice di 3 su 2?

Come si fa la moltiplicazione tra radici?

Come si fa una radice per una radice?

A cosa è uguale la radice di 3?